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ひでひでた
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あとちょっとで一段落
最近復活した川本真琴のCD買いました。昔っから好きだったけど、いま聞いてもやっぱいい。気まぐれでMISIAのアルバムも買ったら出費がえらいことになった。
 で、伊藤積分とか伊藤公式、Stratonovich積分などはあらかた勉強しましたが、全然しっくりこないです。確かに伊藤公式を使うといろいろ計算もどきができますが通常の積分とは違ってexplicitな表現が得にくいので解き切った感じがせず気持ちよくないです。解析計算よりも数値計算をするときにはうまくいきそうな雰囲気かな。たぶん普通のランジュバン方程式を扱うときは伊藤でもStratonovichでもいけると思うのでそのうち適当にシミュレーションするつもりです。フォーマリズムに関してはルベーグ積分がほんとは必要なんだろうけど、いまさらボレル集合とか勉強する気にならないからしばらくはスルーの方針。伊藤公式とFokker-Planck方程式の関連を勉強したら一段落です。
 今朝大学に向かって歩いている最中に面白そうな問題を思いついたのでちゃんと定式化できるかとか取り組む価値があるのかとかいろいろ吟味しないと。思いついたのは理論的な事だけど、一番大事なのは実験事実を正確に把握しておく事ですよね。
ひでひでた
確率・確率過程・統計   0 0

分数とは違うのだよ分数とは
伊藤の公式が何者であるかは知ったけど、それにまつわるテクニカルな事で混乱していたりそもそもなぜ伊藤積分が必要かというモチベーションの理解が十分でないのですっきりしない。確率システムやファイナンスの本、そしてvan Kampenをパラパラと見ているとそれぞれ関係のある記述があるものの相互の関連が分かってないので振り回される結果になってしまった。
 ウィーナー過程の微分もどきがガウシアンホワイトノイズだと解釈すること(とはいえ分数のように扱ってはいけない)、それによって微分の2次が微小時間の1次になるため通常のテイラー展開に余分な項が加わること(伊藤の公式)、解を求めるのに伊藤積分を定義すること、がポイントだという事は分かるのだけれども…。また明日整頓しよう。
ひでひでた
確率・確率過程・統計   0 0

なじみ
確率過程にはだいぶなじんできました。今読んでるのはシステム工学専攻の人向けの
確率システム入門 (システム制御情報ライブラリー)確率システム入門 (システム制御情報ライブラリー)
(2002/03)
大住 晃

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と van Kampen です。『現代物理学の基礎』はやはり物理の本なので直感的な説明が主であるのに対して、この2冊は違った雰囲気を持っています。大住さんの本は若干数学的ですが(例えば自乗平均連続の概念などが書いてある)肝心の伊藤積分と Stratonovich 積分が分かるように書いてあるし数値計算の仕方も少しだけ説明されているので重宝します。関数解析の知識は全く無しで OK なので物理の人にも accessible だと思われます。 van Kampen は one step process など化学寄りの対象にもページが結構割かれているので僕のように生物物理をやりたい人にとっては大事かもしれません。どちらも物理的な直感に訴えるというよりは論理的に記述を進める感じです。特に後者は。
 先輩から聞いた話ですが、15年ほど前に生物物理を考えていた人々は実験事実が目まぐるしく更新されていくためモデルを作って解析しても相手にされなかったようです。今はイメージングなどの観測技術がかなり向上したおかげか昨年正しかった事が今年間違った事になるような drastic な変化は少なくとも僕のやっている分野では見かけないような気がします。この話は先輩がポスドクの人から聞いた事だそうな。その人はカオスをやっていたらしいです。生物物理には良い思い出がないみたい。
 …そういえば以前の記事に「ウィーナー過程をシミュレートするためには多変数ガウス分布が要る」と書いてしまいましたが、これは嘘ですね。異なった時刻のノイズ間には相関が無いので正規性乱数を1つ出力できれば十分で、多変数と言う必要はありませんでした。
 なじんでくると同時に楽しくなります。この調子で楽しめる範囲を増やせればいいな。
ひでひでた
確率・確率過程・統計   0 0

碩学著す
いろいろと教科書を読んでいるけど、やっぱ久保亮五の書いた確率過程の説明は一番分かりやすいなぁ。ガウス過程の話も直感的に納得できるように書いてあるし、過度に数学的でもないから読みやすいし。ファンカンペンをゼミで読む事にしたけどこの本は参考書として大いに頼りに出来ると思う。
岩波講座現代物理学の基礎 5 第2版岩波講座現代物理学の基礎 5 第2版
(2002/06/10)
不明

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ひでひでた
確率・確率過程・統計   0 0

一山越えた
van Kampenを読んでいてどうしても理解できず気持ち悪かったところがあったのですがようやく分かった気になりました。
 Master方程式をシステムサイズ(などのパラメータ)に対して系統的に展開するにはどうしたらよいか、というのが問題です。この方程式は遷移確率が決まれば微分方程式として決定されるのでパラメータを入れるとしたらそこしかありません。さて、この遷移確率というのはその名の通り単位時間当たりにある状態から別の状態に遷移する確率を与えるもので記号としてはW(X|X')のように書かれますが、これをW(X';r),r=X-X'と書き直すと一つ進歩することが出来ます。r依存性は固定されたX'について単にジャンプの相対的な実現確率を表現するに過ぎない一方で、X'依存性はシステムサイズの情報を含める余地があるからです。
 これは例えば一定容器内に入れられた化学反応系を考えると分かりやすいと思います。同じ化学種からなる反応系を一方では試験管内に入れ他方ではプールの中に入れて実験するとします。ただし濃度は各々等しくしておきます。このとき「両者は濃度が同じでマクロな性質には違いが無いのだから先ほどの遷移確率はr(ここでは粒子数の変化もしくは化学反応の進み具合)のみに依存する」と考えるのが自然です。これを表現するとW(X';r)=f(X'/Ω;r)となります。これが一番厳しいシステムサイズ依存性の含め方です。教科書ではさらに一般的な議論もしていますが大したことではありません。
 おそらくこの解釈で正しいと思うのですがどうなんだろう…。以上の議論をした後にシステムサイズに依存したある変数変換を行ってパラメータに関して展開し最低次を取ることによってlinear noise approximationが達成されるのですが、この単語を含む論文を検索してみるとどれもvan Kampenのこの本を参考文献に挙げているので他をあたることが出来ず若干困っています。一種類の本しか引用されないのはちょっと不安になりますね。権威的な何か。
 まあ何にせよ胸のつっかかりみたいなのが取れたのでざっと目を通したに過ぎなかった以降の議論に本腰入れて取り組めるようになりそうです。後はマクロな運動方程式がどのように導かれるか、ノイズをGaussianとしてよい理由(答えは方程式が特定の形をもったFokker-Planckになるから)、Langevin、Ito、Stratonovichとの関係を勉強してひとまず論文に移る段取りになります。統計理論は面白いね。
ひでひでた
確率・確率過程・統計   0 0

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