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ひでひでた
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基本的なこと
非平衡統計の続きでLiouvilleの定理を使った。
 この証明を考えるのにいろいろと手間取った。初期状態の位置および一般運動量から任意時刻でのそれらに変数変換した時に位相空間が不変であるということは変換のJacobianが常に1なることから分かる。そしてJacobianはHamilton方程式を考えれば即座に分かるものだ。あー、なんであんなに時間を食ったのか。
 時間発展自体が正準変換になっているかとか一般的な正準変換に対してLiouvilleの定理が成り立つかとかいろいろと必要ないこと考えたのは一つの理由かもしれない。でもまあ直近の目的に対して必要ないとは言ってもすぐに答えが出てこなかったのだから考えた意味はあったのだろう。本を読んでみて解析力学の基本的なフォーマリズムがかなりおろそかになっていることに気づけたのは良かったと思う。大学2年生の内容なんだからすらすらと解答できないと困る。
 肝心の非平衡統計の方はあまり進まず、Gibbsエントロピーやvon Neumannエントロピーを単純に時間発展させても変化はしないということや相対エントロピーが何者なのか知ったくらいだった。どうも平衡統計の基本的な論理が身に付いていないように感じる。院試などの問題を解く上では露にならないが、今まで勉強してきたことがなぜ正しいのか根本的に理解していないと今後困ることになると思う。早急に復習が必要だ。
 抽象的な概念に出会ったらまずは簡単なモデルで感覚をつかんで、その次には非自明かつ面白い例を作れるようになりたい。
ひでひでた
熱・統計力学   1 0

久しぶりの感覚
レポートの類や卒研の準備が一段落したので自主的に物理の勉強を進めようと思い非平衡統計の本を読み始めました。
 この本はその名も『非平衡統計力学』で某早川先生がお書きになったものです。実は以前紹介したことがありますね。彼は院試の時の面接で一番前に座っていました。とても厳しい研究室だそうですね。今日は11から21ページまで。主にBoltzmann方程式の導出とH定理の証明です。前者はハードコア分子系について考察されており、結果に微分断面積を使うことで一般的に適用できるようになっています。後者は古典的な系についての証明。
 コンピュータから、卒研から離れて自分の好きなように物理をやるのは久しぶりの感覚で楽しかったです。…それにしてもこの方程式は大変だ。なんと言っても未知関数についての微分・積分方程式でありなおかつ非線形なのだから。最強じゃないですか。

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ひでひでた
熱・統計力学   0 0

直感
今日はゼミのはずでしたが友達がダウンしてるので中止でした。ほんとはゴールドストーンモードをやる予定だったんだけど。
 かくいう僕自身ものどがすごく痛くてまずいかもしれないです。鼻がめっちゃ詰まって口を開けて寝ていたのが良くなかったのかも…。うがい薬を買いに行ったらその店に置いてないとかいう不幸な出来事もあったので今後注意しないといけないです。今大事なのは努力を続けることだから。

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ひでひでた
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簡単にまとめ
今日は昼過ぎに起きて大学に行って授業出て、病院に行って少し勉強した。
 出来たことは自主ゼミの準備とプリゴジンを少し読めたくらいか。永長さんの本で出てきた汎関数微分が直感的に処理できなくて手こずった。まだ解決してないのでなんとかしないといけない。普通の関数を微分するのと同じ気分では出来ない演算なのか?一方で昨日まで分からなかったことが今日見直してみたら簡単に了解されたのは良かった。プリゴジンの方は相平衡の話でClausius-ClapeyronとかGibbsの相律とか。潜熱の概念をエンタルピー変化で表現。相転移とかは適当に。
 永長さんの方でXYモデルでの相関関数の高温展開とかが出てきたなと思っていたらプリゴジンでは臨界点近傍の振る舞いについての記述に出会った。こうなるとそろそろGoldenfeldを読みたくなってくる。

 読みたい本が増えてきていて困る。10冊は超えている程度か。やることをしぼらないとどれも中途半端に終わってしまいそう。まずはプリゴジンと自主ゼミ。あとはオプションだと考えねばなるまい。出来れば
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を読みたいのだけどどうせ読むならちゃんと読みたいのでしばらく先になりそうだ。まあ急いで読む必要は今のところ無いしな。

 どうでもいいけど、相律、ってかっこいいよね。英語だとphase ruleなんていう普通の言葉になっちゃうし。訳語のセンスが良い。
ひでひでた
熱・統計力学   0 0

ツァリス
今日は卒研で熱力学極限の話が出てきた。第二量子化を縮退した電子ガス系に適用しようという文脈だ。もちろん電子たちは長距離相互作用であるクーロン相互作用をするので、そのままでは熱力学極限が取れない。デバイ遮蔽を念頭に湯川ポテンシャルの形にして相互作用距離を制限している。
 まあそれはそうとして、エントロピーが示量的にならない統計があることを先生から教えてもらった。名をTsallis統計というらしい。いろいろと検索してみたがたいていは非相加的統計力学ということで紹介されているようだ。いくつかの拘束条件の下でエントロピーが極致を取ることを要請して理論を構築するらしい(この点ではGibbs-Boltzmann統計と同じ)。1988年頃の業績。先ほどのクーロンの場合や重力相互作用の場合は明らかにエネルギーが非相加的になるので天体の分野ではこの統計を使ってみようとする人がいるらしい。僕がお世話になっている先生もそのうちの一人だが某掲示板でGrapeのM野さんやT崎さんに批判されていた。かなり厳しい感じがした。少し興味を持ったので適当に漁ってきたPDFでも読もうと思っている。
 まあ正直な感想としては、結構あやしげかなー、みたいな。先生には悪いけど。

 そうそう、例の第二量子化したときの演算子の時間発展だけど、やはり普通にexpの肩にハミルトニアンを載せてハイゼンベルク形式に移ればいいらしい。だから時間発展は必然的にハイゼンベルク方程式になる。理論が相対論的であれ非相対論的であれこれは正しくて単にハミルトニアンが相対論的になったりならなかったりするだけ、とのことだ。
 時間発展が共変的でないのが不満だったのだが、この点を発展させたのが朝永さんやシュウィンガーの超多時間理論だったらしい。ただ共変的にはなったが煩雑だったため、現在ではあまりお目にかからなくなってしまったようだ。
 …似たような疑問をもったとはいえ、今の僕にそんな理論が作れるようには思えないな。

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ひでひでた
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