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ひでひでた
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自主ゼミ、スタート
ようやく自主ゼミが始まりました。もう10月も半ば。もう少し早く始めたかったけどまあしょうがない。
 今日は1章の第2量子化と場の解析力学のところ。解析力学の方は特に面白くないので前者メインでやろうということになりました。…第2量子化って第二量子化って書くのが一般的なんでしょうかね。数字を使った方はあまり検索にかからないようです。
 多粒子のヒルベルト空間の話をしたり生成消滅演算子を定義したりしました。状態の対称化は生成消滅演算子の交換関係に焼き直すことが出来ます。粒子数が増えると波動関数を対称化して扱うのが無理なので第2量子化して扱います。ハミルトニアンや運動量など通常の演算子も生成消滅演算子から構成でき、ハイゼンベルク描像で時間発展を考えます。つまり物理量自体の変化を追う。このとき時間発展を担うのは生成消滅演算子です。よく見かける生成消滅演算子と場の演算子は基底が違うだけで全く同じ働きをします。場の演算子は真空状態に作用して位置が局在した1粒子状態を作ります。波動関数で言えばデルタ関数が生まれる。場の演算子の時間発展は今のところハイゼンベルク方程式で書けて、このときは物理量とハミルトニアンの交換関係が、たとえフェルミオンのときでも反交換関係をうまくひねり出すことで計算できます。これによって物理量の時間発展が分かる。場の演算子の時間発展なんて考えて意味あるの、と友達に聞かれたことがありますが、これは第1量子化の段階でシュレーディンガー方程式を考えるくらい普通のことです。あと初めに1粒子状態とは何かって話もしたかな。境界条件や外場の有無で変わってくるのでそこらへん書いてないよねってことになりました。
 準備の段階ですが、テキストが細かいことを書かない主義らしいので結構自分で調べたり考えたりしなきゃいけませんでした。しかもいろいろな本にあたっても場の演算子の時間発展を考えてどうするかなどについては言及が無く困りました。これは意外です。
 今のところ時間発展の方程式がローレンツ共変性を持っていないので非相対論的な物質場を扱っているんだと思います。多分ディラックフェルミオンとかは扱えないはず。物性論では非相対論が普通なんでしょうが気になることは気になります。あと、真空状態が何者なのかよくわからない。消滅演算子を作用させると消えるってのはまあその通りでしょうが物理的に何をイメージしたらいいのか不明です。曲がった時空上で場の理論を考えたら真空状態って一意的に決まるんだろうか。何か友達が場の量子的揺らぎとか言っていたのも気になるし。深めようとしたらいくらでも話題が出てきそうです。
 次回は局所位相変換をしてゲージ場を導入するモチベーションを与え、例として光子場が出てきます。あとは1粒子量子力学の経路積分を使った定式化かな。モノポールに関するディラックストリングの話でも勉強して持っていったら面白いかもしれない。そのうちベリー位相が出てくるの関係していたらなおさら面白いですね。今回のゼミはテキストがあっさりしているのを逆に利用して、発表者の裁量で話す内容を決めるようにしています。卒業するまでには終われるようにするのが目標。
 がんばるべ。
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